2. 考研
  3. 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )

设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )

admin2019-03-11  30
问题 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案C
解析 首先，由A[1／2(η2+η3)]=β，知1／2(η2+η3)是Ax=β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η2－η1及η3－η1均为方程组Ax=0的解；再次，由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由
[η2－η1，η3－η1]

及矩阵的秩为2，知向量组η2－η1，η3－η1，线性无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解(否则，3－r(A)=3，r(A)=0．A=O，这与Aη1=β≠0矛盾)，于是η2－η1，η3－η1可作为Ax=0的基础解系，Ax=0的通解为k1(η2－η1)+k2(η3－η1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确．
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考研数学三

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