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  3. 设奇函数f(x)在[一1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1． (2)存在η∈(一1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1．

设奇函数f(x)在[一1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1． (2)存在η∈(一1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1．

admin2019-07-19  27
问题 设奇函数f(x)在[一1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
(1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1．
(2)存在η∈(一1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1．
选项
答案(1)令 F(x)=f(x)一x，F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一1=0， 由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1． (2)令G(x)=ex[f’(x)一1]，由(1)知，存在ξ∈(0，1)，使G(ξ)=0，又因为f(x)为奇函数，故f’(x)为偶函数，知G(一ξ)=0，则存在η∈(一ξ，ξ)[*](一1，1)，使得G’(η)=0，即 eη(f’(η)一1)+eηf"(η)=0，f"(η)+f’(η)=1．
解析
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考研数学一

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