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设γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…，ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系，证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关．
设γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…，ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系，证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关．
admin
2019-03-21
34
问题
设γ
1
，γ
2
，…，γ
t
和η
1
，η
2
，…，η
s
分别是AX=0和BX=0的基础解系，证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ
1
，γ
2
，…，γ
t
，η
1
，η
2
，…，η
s
线性相关．
选项
答案
充分性 由γ
1
，γ
2
，…，γ
r
，η
1
，η
2
，…，η
s
线性相关，知存在k
1
，k
2
，…，k
r
，l
1
，l
2
，…，l
r
不全为零，使得 k
1
γ
1
+k
2
γ
2
+…+k
t
γ
t
+l
1
η
1
+l
2
η
2
+…+l
s
η
s
=0， 令ξ=k
1
γ
1
+k
2
γ
2
+…+k
t
γ
t
，则ξ≠0(否则k
1
，k
2
，…，k
s
，l
1
，l
2
，…，l
s
全为0)，且ξ=一l
1
η
1
一l
2
η
2
一…一l
s
η
s
，即一个非零向量ξ既可由γ
1
，γ
2
，…，γ
t
表示，也可由η
1
，η
2
，…，η
s
表示，所以Ax=0和Bx=0有非零公共解． 必要性 若Ax=0和Bx=0有非零公共解，假设为ξ≠0，则ξ=k
1
γ
1
+k
2
γ
2
+…+k
t
γ
t
且ξ=一l
1
η
1
一l
2
η
2
一…一l
s
η
s
，于是，存在k
1
，k
2
，…，k
t
不全为零，存在l
1
，l
2
，…，l
s
不全为零，使得 k
1
γ
1
+k
2
γ
2
+…+k
t
γ
t
+l
1
η
1
+l
2
η
2
+…+l
s
η
s
=0， 从而γ
1
，γ
2
，…，γ
r
，η
1
，η
2
，…，η
s
线性相关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/M1V4777K
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考研数学二
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