设x∈(0，1)，证明 (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；

admin2017-04-24 51

问题设x∈(0，1)，证明
(1)(1+x)ln²(1+x)＜x²；

选项

答案(1)令 φ(x)=(1+x)ln²(1+x) 一x²，φ(0)=0 φ’(x)= ln²(1+x) + 2ln(1+x) 一2x， φ’(0)=0 于是φ"(x)在(0，1)内严格单调减少，φ"(0)=0，所以在(0，1)内φ"(x)＜0．于是φ’(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ’(0)=0，故在(0，1)内φ’(x)＜0．故φ(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ(0)=0，故在(0，1)内φ(x)＜0． [*] 由(1)知f’(x)＜0，(当x∈(0，1))，于是可知f(x)在(0，1)上严格单调减少，f(1)=[*]一1，故当x∈(0，1)时． [*] 不等式左边证毕，又 [*] 故当x∈(0，1)时，f(x)=[*] 不等式右边证毕．

解析

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