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设x∈(0,1),证明 (1)(1+x)ln2(1+x)<x2;
设x∈(0,1),证明 (1)(1+x)ln2(1+x)<x2;
admin
2017-04-24
74
问题
设x∈(0,1),证明
(1)(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
;
选项
答案
(1)令 φ(x)=(1+x)ln
2
(1+x) 一x
2
,φ(0)=0 φ’(x)= ln
2
(1+x) + 2ln(1+x) 一2x, φ’(0)=0 于是φ"(x)在(0,1)内严格单调减少,φ"(0)=0,所以在(0,1)内φ"(x)<0.于是φ’(x)在(0,1)内严格单调减少,又φ’(0)=0,故在(0,1)内φ’(x)<0.故φ(x)在(0,1)内严格单调减少,又φ(0)=0,故在(0,1)内φ(x)<0. [*] 由(1)知f’(x)<0,(当x∈(0,1)),于是可知f(x)在(0,1)上严格单调减少,f(1)=[*]一1,故当x∈(0,1)时. [*] 不等式左边证毕,又 [*] 故当x∈(0,1)时,f(x)=[*] 不等式右边证毕.
解析
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考研数学二
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