设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=( )

admin2019-01-26 75

问题设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=( )

选项 A、2na²
B、na²
C、a²
D、0

答案D

解析不妨设D=det(a_ij)，且a_ij=a(i=1，2，…，2n)，余子式M_ij=a(i=1，2，…，2n)，其对应的代数余子式A_ij=(－1)^i+jM_ij=(－1)^i+ja(i=1，2，…，2n)。由题意，行列式按第j列展开，D=a_1jA_1j+a_2jA_2j+…+a_2njA_2nj=aA_1j+aA_2j+…+aA_2nj，因为A_ij=(－1)^i+jM_ij=(－1)^i+ja(i=1，2，…，2n)，所以这2n个代数余子式中有n个等于a，n个等于－a，从而行列式的值为0。故本题选D。

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