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  3. 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞，＋∞)上有二阶导数，且f(0)＝0．设F(x)＝(sinx－1)2f(x)，证明：x0∈使得F’’(x0)＝0．

已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞，＋∞)上有二阶导数，且f(0)＝0．设F(x)＝(sinx－1)2f(x)，证明：x0∈使得F’’(x0)＝0．

admin2017-08-18  102
问题 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞，＋∞)上有二阶导数，且f(0)＝0．设F(x)＝(sinx－1)2f(x)，证明：x0∈使得F’’(x0)＝0．
选项
答案显然F(0)＝F[*]＝0，于是由罗尔定理知，[*]x1∈(0，[*])，使得F’(x1)＝0.又 F’(x)＝2(sinx一1)f(x)＋(sinx一1)2f’(x)， [*] 对F’(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x0*∈[*]，使得F’’(x0*)＝0. 注意到F(x)以2π为周期，F’(x)与F’’(x)均为以2π为周期的周期函数，于是[*]x0＝2π＋x0*，即 x0∈(2π，[*])，使得 F’’(x0)＝F’’(x0*)＝0．
解析
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考研数学一

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