已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx-1)2f(x),证明:x0∈使得F’’(x0)=0.

admin2017-08-18  63

问题 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx-1)2f(x),证明:x0使得F’’(x0)=0.

选项

答案显然F(0)=F[*]=0,于是由罗尔定理知,[*]x1∈(0,[*]),使得F’(x1)=0.又 F’(x)=2(sinx一1)f(x)+(sinx一1)2f’(x), [*] 对F’(x)应用罗尔定理,由于F(x)二阶可导,则存在x0*∈[*],使得F’’(x0*)=0. 注意到F(x)以2π为周期,F’(x)与F’’(x)均为以2π为周期的周期函数,于是[*]x0=2π+x0*,即 x0∈(2π,[*]),使得 F’’(x0)=F’’(x0*)=0.

解析
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