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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且满足∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．

设f(x)在[0，1]上连续，且满足∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．

admin2019-02-23  106
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且满足∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，G(x)=∫0xF(s)ds，显然G(x)在[0，1]可导，G(0)=0，又 G(1)=∫01F(s)ds[*]sF(s)｜01-∫01sar(s)=F(1)-∫01xf(s)ds=0-0=0， 对G(x)在[0，1]上用罗尔定理知，[*]∈(0，1)使得G’(c)=F(c)=0． 现由F(x)在[0，1]可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在[0，c]，[c，1]对F(x)用罗尔定理知， [*]ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得F’(ξ1)=f(ξ1)=0，F’(ξ2)=f(ξ2)=0，即f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．
解析 为证f(x)在(0，1)内存在两个零点，只需证f(x)的原函数F(x)=∫0xf(t)dt在[0，1]区间上有三点的函数值相等．由于F(0)=0，F(1)=0，故只需再考察F(x)的原函数G(x)=∫0xF(s)ds，证明G(x)的导数在(0，1)内存在零点．
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考研数学二

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