2. 考研
  3. (1998年试题，十三)已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，一1，α)T，β=(3，10，6，4)T，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表

(1998年试题，十三)已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，一1，α)T，β=(3，10，6，4)T，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表

admin2019-08-01  57
问题 (1998年试题，十三)已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，一1，α)T，β=(3，10，6，4)T，问：
(1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示?
(2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并写出此表示式．
选项
答案向量β能否由α1，α2，α3线性表示实质上等价于下述方程组有解或无解的问题：Ax=β，其中[*]从而[*]，相应的增广矩阵为[*]利用初等行变换将B化为阶梯形如下，[*]当b≠2时，rA1，α2，α3线性表示；当b=2，a≠1时，rA=rB且rA=3，此时方程组Ax=β有唯一解，且相应的行简化阶梯形为[*]因此该唯一解为[*]因此β可由α1，α2，α3唯一表示为β=一α1+2α2；当b=2，a=1时，rA=rB且rA=2<3，此时方程组Ax=β有无穷解，相应的行简化阶梯形为[*]其导出组的基础解系为(一3，3，1)T，原方程组特解为(一1，2，0)T，则通解为C(一3，3，1)T+(一1，2，0)T其中C为任意常数，此时β可α1，α2，α3表示为β=一(3C+1)α1+(3C+2)α2+Cα3
解析 一向量是否可由一组两量线性表示与对应的线性方程组是否有解是等同的，若对应的线性方程组无解，则不能线性表示；若对应的线性方程组有唯一解；则可以线性表示，并且表示方法唯一；若对应的线性方程组有无穷多组解，则可以线性表示，并且有无穷多种表示方法．在对线性方程组求解化为阶梯形的过程中，只能用行变换，在化为阶梯形后，对参数a，b讨论时要做到不重不漏．
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考研数学二

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