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  3. 求常数a，使得向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但是β1，β2，β3不可用α1，α2，α3线性表示．

求常数a，使得向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但是β1，β2，β3不可用α1，α2，α3线性表示．

admin2018-06-27  57
问题 求常数a，使得向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但是β1，β2，β3不可用α1，α2，α3线性表示．
选项
答案本题的要求用秩来表达就是r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)＞r(α1，α2，α3)． 方法一(计算秩) (α1，α2，α3｜β1，β2，β3) [*] 当a≠1和-2时，r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3，不符合要求． 当a=-2时，r(α1，α2，α3)=2，r(β1，β2，β3)=2，不符合要求． 当a=1时，r(α1，α2，α3)=1，r(β1，β2，β3)=3，必有r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3，符合要求，得a=1． 方法二 由上面秩的关系式，得r(α1，α2，α3)＜3，即α1，α2，α3线性相关，｜α1，α2，α3｜=0．求出｜α1，α2，α3｜=-(a-1)2(a+2)，a=1或-2． a=1时，r(α1，α2，α3)=1，r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3，适合要求． a=-2时，r(α1，α2，α3)=r(β1，β2，β3)=2，不合要求．
解析
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考研数学二

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