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求常数a,使得向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但是β1,β2,β3不可用α1,α2,α3线性表示.
求常数a,使得向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但是β1,β2,β3不可用α1,α2,α3线性表示.
admin
2018-06-27
53
问题
求常数a,使得向量组α
1
=(1,1,a)
T
,α
2
=(1,a,1)
T
,α
3
=(a,1,1)
T
可由向量组β
1
=(1,1,a)
T
,β
2
=(-2,a,4)
T
,β
3
=(-2,a,a)
T
线性表示,但是β
1
,β
2
,β
3
不可用α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
选项
答案
本题的要求用秩来表达就是r(β
1
,β
2
,β
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)>r(α
1
,α
2
,α
3
). 方法一(计算秩) (α
1
,α
2
,α
3
|β
1
,β
2
,β
3
) [*] 当a≠1和-2时,r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=3,不符合要求. 当a=-2时,r(α
1
,α
2
,α
3
)=2,r(β
1
,β
2
,β
3
)=2,不符合要求. 当a=1时,r(α
1
,α
2
,α
3
)=1,r(β
1
,β
2
,β
3
)=3,必有r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=3,符合要求,得a=1. 方法二 由上面秩的关系式,得r(α
1
,α
2
,α
3
)<3,即α
1
,α
2
,α
3
线性相关,|α
1
,α
2
,α
3
|=0.求出|α
1
,α
2
,α
3
|=-(a-1)
2
(a+2),a=1或-2. a=1时,r(α
1
,α
2
,α
3
)=1,r(β
1
,β
2
,β
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=3,适合要求. a=-2时,r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(β
1
,β
2
,β
3
)=2,不合要求.
解析
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考研数学二
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