求函数z=x22y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

admin2019-02-20 36

问题求函数z=x²2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

选项

答案区域D如图4．1所示，它是有界闭区域．z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到． [*] 为求D内驻点，先求 [*] 再解方程组 [*] 得z(x，y)在D内有唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6－x代入得 z=x²(6－x)(－2)=2(x³－6x²)，0≤x≤6，令h(x)=2(x³－6x²)，则 h’(x)=6(x²－4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=－64，h(6)=0，即z(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为－64．因此，[*]

解析

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考研数学三

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求函数z=x22y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

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