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已知曲线y=f(x)与曲线相切于(0,0)点,且f(x)满足微分方程y”一2y’一3y=3x一1.求函数f(x).
已知曲线y=f(x)与曲线相切于(0,0)点,且f(x)满足微分方程y”一2y’一3y=3x一1.求函数f(x).
admin
2021-08-05
67
问题
已知曲线y=f(x)与曲线
相切于(0,0)点,且f(x)满足微分方程y”一2y’一3y=3x一1.求函数f(x).
选项
答案
记y=g(x)是由方程[*]确定的隐函数.对方程两边关于x求导,并利用隐函数求导法则,及积分上限函数的求导法则,有 [*] 将x=0,y=0代入上式,可得y’(0)=1,即g’(0)=1. 因为两曲线都经过点(0,0)且在该点处具有公切线,所以f(0)=0,f’(0)=g’(0)=1.因此,函数f(x)是初值问题 [*] 的解.下面先求方程y”一2y’—3y=3x一1的通解. 对应齐次方程的特征方程λ
2
一2λ一3=0有互异根λ
1
=一1,λ
2
=3,则齐次方程的通解为 Y=C
1
e
—x
+C
2
e
3x
. 非齐次方程的自由项3x—1,其中λ=0不是特征方程的根,故应设特解为y”=ax+b.代入 原方程,解得a=一1,b=1,则y”=—x+1,因此,方程的通解为 f(x)=Y+y”=C
1
e
—x
+C
2
e
3x
—x+1. 最后,由f(0)=0,f’(0)=1解得C
1
=一5/4,C
2
=1/4,所以 [*]
解析
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考研数学二
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