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  3. 已知曲线y=f(x)与曲线相切于(0，0)点，且f(x)满足微分方程y”一2y’一3y=3x一1．求函数f(x)．

已知曲线y=f(x)与曲线相切于(0，0)点，且f(x)满足微分方程y”一2y’一3y=3x一1．求函数f(x)．

admin2021-08-05  89
问题 已知曲线y=f(x)与曲线相切于(0，0)点，且f(x)满足微分方程y”一2y’一3y=3x一1．求函数f(x)．
选项
答案记y=g(x)是由方程[*]确定的隐函数．对方程两边关于x求导，并利用隐函数求导法则，及积分上限函数的求导法则，有 [*] 将x=0，y=0代入上式，可得y’(0)=1，即g’(0)=1． 因为两曲线都经过点(0，0)且在该点处具有公切线，所以f(0)=0，f’(0)=g’(0)=1．因此，函数f(x)是初值问题 [*] 的解．下面先求方程y”一2y’—3y=3x一1的通解． 对应齐次方程的特征方程λ2一2λ一3=0有互异根λ1=一1，λ2=3，则齐次方程的通解为 Y=C1e—x+C2e3x． 非齐次方程的自由项3x—1，其中λ=0不是特征方程的根，故应设特解为y”=ax+b．代入 原方程，解得a=一1，b=1，则y”=—x+1，因此，方程的通解为 f(x)=Y+y”=C1e—x+C2e3x—x+1． 最后，由f(0)=0，f’(0)=1解得C1=一5/4，C2=1/4，所以 [*]
解析
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考研数学二

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