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  3. (1993年)设在[0，+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0，f(0)＜0。证明f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点．

(1993年)设在[0，+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0，f(0)＜0。证明f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点．

admin2018-06-30  44
问题 (1993年)设在[0，+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0，f(0)＜0。证明f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点．
选项
答案证1 在[0，+∞)上，由f’(x)≥k，得[*]即f(x)≥kx+f(0)．取[*]有[*]因f(x1)＞0，由题设f(0)＜0，则[*]x0∈(0，x1)使f(x0)=0． 又f’(x)≥k>0，故f(x)严格单调增，所以f(x)在(0，+co)内有且仅有一个零点． 证2 本题的关键是在(0，+∞)上找一点，使f(x1)＞0．由题设f’(x)≥k可知，曲线y=f(x)应在直线y=kx+f(0)上方，如图2．3，只要求求出直线y=kx+f(0)与x轴的交点[*]则必有f(x1)≥0． [*] 事实上 [*] 则f(x1)≥0． 若f(x1)=0，则x1即为f(x)的零点．若f(x1)＞0，由介值定理知[*]x0∈(0，x1)使f(x0)=0，唯一性与证1相同．
解析
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考研数学一

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