设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T。当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。

admin2018-02-07 60

问题设四元齐次线性方程组(1)为

而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为
α₁=(2，一1，a+2，1)^T，α₂=(一1，2，4，a+8)^T。
当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。

选项

答案设η是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 η=k₁β₁+k₂β₂=l₁α₁+l₂α₂，其中k₁，k₂与l₁，l₂均是不全为0的常数。由k₁β₁+k₂β₂—l₁α₁一l₂α₂=0，得齐次方程组 [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 当a≠一1时，方程组(3)的系数矩阵变为[*]。可知方程组(3)只有零解，即k₁=k₂=l₁=l₂=0，于是η=0，不合题意。当a=一1时，方程组(3)系数矩阵变为[*]，解得k₁=l₁+4l₂，k₂=l₁+7l₂。于是 η=(l₁+4l₂)β₁+(l₁+7l₂)β₂=l₁α₁+l₂α₂。所以当a=一1时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是 l₁(2，一1，1，1)^T+l₂(一1，2，4，7)^T，l₁，l₂为任意常数。

解析

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考研数学二

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设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T。当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。

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证明：[*]

设(X，Y)～N(μ1，μ2；δ12，δ22；ρ)，利用条件期望E[X|Y]=μ1+(δ1/δ2)ρ(Y-μ2)，证明ρX，Y=ρ．

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用集合的描述法表示下列集合：(1)大于5的所有实数集合(2)方程x2－7x＋12＝0的根的集合(3)圆x2＋y2＝25内部(不包含圆周)一切点的集合(4)抛物线y＝x2与直线x—y=0交点的集合

验证函数yx＝C1＋C12x是差分方程yx＋2－3yx＋1＋yx＝0的解，并求y。＝1，y1＝3时方程的特解．

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设函数f(x)在(-∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．问k为何值时，f(x)在x=0处可导．

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

αi≠αj（i≠j，I,j=1,2,…,n），则线性方程ATx=B的解是________.

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