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  3. 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值．

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值．

admin2019-08-11  35
问题 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值．
选项
答案先求区域内的极值，再求边界上的极值，通过比较即得闭区域上的最值． 解 由方程组 [*] 得x=0(0≤y≤6)及点(4，0)，(2，1)． 点(4，0)及线段x=0在D的边界上，且f(2，1)=4． 在边界x+y=6上，y=6一x，代入f(x，y)中，得 z=2x2一12x2 (0≤x≤6)． 由z′=6x2一24x=0得x=0，x=4． 当x=0时，y=6，f(0，6)=0． 当x=4时，y=2，f(4，2)=一64． 经比较，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64． 注意 求连续函数z=f(x，y)在有界闭区域D上最值的步骤如下： (1)求D内的驻点(即方程组f′x=0，f′y=0的解)及不可导点(即f′x与f′y不存在的点)； (2)将D的边界线方程代入z=f(x，y)中将其化为一元函数，求出其极值可疑点(即z′=0的根及使z′不存在的点)； (3)求出上述所有点处对应的函数值，比较其大小，可得f(x，y)在D上的最大值与最小值．
解析
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考研数学二

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