设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)=2．证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫01f(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]；

admin2018-05-25 54

问题设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)=2．
证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫₀¹f(t)dt+∫₀^－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]；

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt+∫₀^－xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)－F(0)=F’(θx)x，即 ∫₀^xf(t)dt+∫₀^－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]．

解析

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考研数学三

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