设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．

admin2019-02-01 106

问题设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．

选项 A、若A²=E，则-1一定是矩阵A的特征值
B、若r(E+A)＜n，则-1一定是矩阵A的特征值
C、若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值
D、若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值

答案A

解析若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是-1为A的特征值；
若A的每行元素之和为-1，则

，根据特征值特征向量的定义，-1为A的特征值；若A是正交矩阵，则A^TA=E，令AX=λX(其中X≠0)，则X^TA^T=λX^T，于是X^TA^TAX=λ²X^TX，即(λ²-1)X^TX=0，而X^TX＞0，故λ²=1，再由特征值之积为负，得-1为A的特征值，选(A)．

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