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  3. 设随机变量X1，…，Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1＝1)＝p，P(X1＝0)＝1－p，记

设随机变量X1，…，Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1＝1)＝p，P(X1＝0)＝1－p，记

admin2017-06-26  56
问题 设随机变量X1，…，Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1＝1)＝p，P(X1＝0)＝1－p，记
选项
答案EYi＝P(Xi＋Xi+1＝1)＝P(Xi＝0，Xi+1＝1)＋P(Xi＝1，Xi+1＝0)＝2p(1－p)，i＝1，…，n， ∴[*]＝2np(1－p)， 而E(Y12)＝P(Xi＋Xi+1＝1)＝2p(1－p)，∴DYi＝E(Y12)－(EYi)2 ＝2p(1－p)[1－2p(1－p)]，i＝1．2，…，n． 若l－k≥2，则Yk与Yl独立， 这时cov(Yk，Yl)＝0， 而E(YkYk+1) ＝P(Yk＝1，Yk+1＝1) ＝P(Xk＋Xk+1＝1， Xk+1＋Xk+2＝1)＝P(Xk＝0， Xk+1＝1，Xk+2＝0)＋P(Xk＝1， Xk+1＝0， Xk+2＝1)＝(1－p)2p＋p2(1－p)＝p(1－p)， ∴coy(Yk， Yk+1)＝E(YkYk+1)－EYkEYk+1 ＝(1－p)－4p2(1－p)2， 故[*] 2np(1－p)[1－2p(1－p)]＋[*] ＝2np(1－p)[1－2p(1－p)]＋2(n－1)[p(1－p)－4p2(1－p)2] 2p(1－p)[2n－6np(1－p)＋41)(1－p)－1]．
解析
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考研数学三

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