设x∈(0,1),证明: (1)(1+x)ln2(1+x)<x2; (2)

admin2016-01-11  35

问题 设x∈(0,1),证明:
(1)(1+x)ln2(1+x)<x2
(2)

选项

答案(1)令f(x)=(1+x)ln2(1+x)一x2,则f(0)=0. f’(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一2x,f’(0)=0. [*] 当x>0时,ln(1+x)<x,故f”(x)<0,f’(x)单调减少;f’(x)<f’(0)=0,故f(x)单调减少,从而有f(x)<f(0)=0,即 (1+x)ln2(1+x)<x2. [*] 由(1)知g’(x)<0,x∈(0,1),故g(x)在(0,1)内单调减少. [*] 故当x∈(0,1)时,有 [*]

解析
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