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  3. 设x∈(0，1)，证明： (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2； (2)

设x∈(0，1)，证明： (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2； (2)

admin2016-01-11  71
问题 设x∈(0，1)，证明：
(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；
(2)
选项
答案(1)令f(x)=(1+x)ln2(1+x)一x2，则f(0)=0． f’(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一2x，f’(0)=0． [*] 当x＞0时，ln(1+x)＜x，故f”(x)＜0，f’(x)单调减少;f’(x)＜f’(0)=0，故f(x)单调减少，从而有f(x)＜f(0)=0，即 (1+x)ln2(1+x)＜x2． [*] 由(1)知g’(x)＜0，x∈(0，1)，故g(x)在(0，1)内单调减少． [*] 故当x∈(0，1)时，有 [*]
解析
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考研数学二

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