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某工厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为χ和y(单位:吨)时,总收益函数为R(χ,y)=42χ+27y-4χ2-2χy-y2,总成本函数为C(χ,y)=36+8χ+12y(单位:万元).除此之外,生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元,1
某工厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为χ和y(单位:吨)时,总收益函数为R(χ,y)=42χ+27y-4χ2-2χy-y2,总成本函数为C(χ,y)=36+8χ+12y(单位:万元).除此之外,生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元,1
admin
2022-06-19
36
问题
某工厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为χ和y(单位:吨)时,总收益函数为R(χ,y)=42χ+27y-4χ
2
-2χy-y
2
,总成本函数为C(χ,y)=36+8χ+12y(单位:万元).除此之外,生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元,1万元.
(Ⅰ)在不限制排污费用支出的情况下,这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少?
(Ⅱ)当限制排污费用支出总额为8万元的条件下,甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?
选项
答案
(Ⅰ)由题意知,利润函数为 L(χ,y)=R(χ,y)-C(χ,y)=(2χ+y) =-4χ
2
-2χy-y
2
+32χ+14y-36. 解方程组[*] 该实际问题一定有最大值,当χ=3,y=4时,取得最大利润L(3,4)=40. (Ⅱ)若排污费用2χ+y=8时,构造拉格朗日函数 F(χ,y,λ)=-4χ
2
-2χy-y
2
+32χ+14y-36+λ(2χ+y-8). 令[*] 此时最大利润L(2.5,3)=37.
解析
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考研数学三
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