2. 考研
  3. 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为χ和y(单位：吨)时，总收益函数为R(χ，y)＝42χ＋27y－4χ2－2χy－y2，总成本函数为C(χ，y)＝36＋8χ＋12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1

某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为χ和y(单位：吨)时，总收益函数为R(χ，y)＝42χ＋27y－4χ2－2χy－y2，总成本函数为C(χ，y)＝36＋8χ＋12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1

admin2022-06-19  42
问题 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为χ和y(单位：吨)时，总收益函数为R(χ，y)＝42χ＋27y－4χ2－2χy－y2，总成本函数为C(χ，y)＝36＋8χ＋12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1万元．
    (Ⅰ)在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少?
    (Ⅱ)当限制排污费用支出总额为8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?
选项
答案(Ⅰ)由题意知，利润函数为 L(χ，y)＝R(χ，y)－C(χ，y)＝(2χ＋y) ＝－4χ2－2χy－y2＋32χ＋14y－36． 解方程组[*] 该实际问题一定有最大值，当χ＝3，y＝4时，取得最大利润L(3，4)＝40． (Ⅱ)若排污费用2χ＋y＝8时，构造拉格朗日函数 F(χ，y，λ)＝－4χ2－2χy－y2＋32χ＋14y－36＋λ(2χ＋y－8)． 令[*] 此时最大利润L(2．5，3)＝37．
解析
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考研数学三

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