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设二次型F(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3—2x2x3. (1)求二次型f的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值.
设二次型F(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3—2x2x3. (1)求二次型f的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值.
admin
2014-01-26
80
问题
设二次型F(x
1
,x
2
,x
3
)=ax
1
2
+ax
2
2
+(a-1)x
3
2
+2x
1
x
3
—2x
2
x
3
.
(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(2)若二次型f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,求a的值.
选项
答案
(1)二次型f的矩阵[*] 由[*]=(λ-a)(λ—a+2)(λ-a-1) 得A的特征值为λ
1
=a-2,λ
2
=a,λ
3
=a+1. (2)方法一 由f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,知A有2个特征值为正,1个为零. 若λ
1
=a-2=0,即a=2, 则λ
2
=2,λ
3
=3,符合题意. 若λ
2
=a=0, 则λ
1
=-2,λ
3
=1,不合题意. 若λ
3
=a+1=0,即a=-1, 则λ
1
=-3,λ
2
=-1,不合题意. 综上所述a=2. 方法二 由f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,知A有合同矩阵[*],其秩为2, 故|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=0,于是a=2或a=0或a=-1. 当a=2时,λ
1
=0,λ
2
=2,λ
3
=3,符合题意. 当a=0时,λ
1
=-2,λ
2
=0,λ
3
=1,不合题意. 当a=-1时,λ
1
=-3,λ
2
=-1,λ
3
=0,不合题意. 综上所述a=2. 方法三 由f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,知A有2个特征值为正,1个为零. 显然a-2<a<a+1,所以a=2.
解析
本题已知规范形反求参数,实际上相当于告诉了正负惯性指数,而正负惯性指数又可以通过正负特征值进行确定.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Mm34777K
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考研数学二
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