2. 考研
  3. 设二次型F(x1，x2，x3)＝ax12＋ax22＋(a－1)x32＋2x1x3—2x2x3． (1)求二次型f的矩阵的所有特征值； (2)若二次型f的规范形为y12＋y22，求a的值．

设二次型F(x1，x2，x3)＝ax12＋ax22＋(a－1)x32＋2x1x3—2x2x3． (1)求二次型f的矩阵的所有特征值； (2)若二次型f的规范形为y12＋y22，求a的值．

admin2014-01-26  52
问题 设二次型F(x1，x2，x3)＝ax12＋ax22＋(a－1)x32＋2x1x3—2x2x3．
(1)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(2)若二次型f的规范形为y12＋y22，求a的值．
选项
答案(1)二次型f的矩阵[*] 由[*]＝(λ－a)(λ—a＋2)(λ－a－1) 得A的特征值为λ1＝a－2，λ2＝a，λ3＝a＋1． (2)方法一 由f的规范形为y12＋y22，知A有2个特征值为正，1个为零． 若λ1＝a－2＝0，即a＝2， 则λ2＝2，λ3＝3，符合题意． 若λ2＝a＝0， 则λ1＝－2，λ3＝1，不合题意． 若λ3＝a＋1＝0，即a＝－1， 则λ1＝－3，λ2＝－1，不合题意． 综上所述a＝2． 方法二 由f的规范形为y12＋y22，知A有合同矩阵[*]，其秩为2， 故｜A｜＝λ1λ2λ3＝0，于是a＝2或a＝0或a＝－1． 当a＝2时，λ1＝0，λ2＝2，λ3＝3，符合题意． 当a＝0时，λ1＝－2，λ2＝0，λ3＝1，不合题意． 当a＝－1时，λ1＝－3，λ2＝－1，λ3＝0，不合题意． 综上所述a＝2． 方法三 由f的规范形为y12＋y22，知A有2个特征值为正，1个为零． 显然a－2＜a＜a＋1，所以a＝2．
解析 本题已知规范形反求参数，实际上相当于告诉了正负惯性指数，而正负惯性指数又可以通过正负特征值进行确定．
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考研数学二

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