设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵，则矩阵AA的全部特征值为，特征向量为____

admin2021-02-25 27

问题设A为n阶可逆矩阵，A^*为A的伴随矩阵，则矩阵AA^*的全部特征值为__________，特征向量为______________

选项

答案特征值为λ=｜A｜，特征向量k₁e₁+k₂e₂+…+k_ne_n，其中e₁，e₂，…，e_n为Rⁿ的标准正交基，k₁，k₂，…，k_n是不同时为零的任意常数

解析本题考查特征值与特征向量的概念和求法．
由于矩阵A可逆，故｜A｜≠0，又因为AA^*=｜A｜E，即得｜AA^*-｜A｜E｜=0，因此矩阵AA^*的全部特征值为λ=｜A｜，是n重特征值．对于λ=｜A｜，λE-AA^*=｜A｜E-｜A｜E=O，显然任何一个非零的n维向量都是方程组(λE-AA^*)x=0的非零解，从而矩阵AA^*的属于λ=｜A｜的特征向量为k₁e₁+k₂e₂+…+k_ne_n，其中e₁，e₂，…，e_n为Rⁿ中的标准正交基，k₁，k₂，…，k_n是不同时为零的任意常数．

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考研数学二

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