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  3. 设α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，一1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)T，β=(1，1，b+3，5)T．问： (1)a，b为什么数时，β不能用α1,α2,α3,α4表示? (2)a，b为什么数时，β可用α1

设α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，一1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)T，β=(1，1，b+3，5)T．问： (1)a，b为什么数时，β不能用α1,α2,α3,α4表示? (2)a，b为什么数时，β可用α1

admin2017-10-21  43
问题 设α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，一1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)T，β=(1，1，b+3，5)T．问：
(1)a，b为什么数时，β不能用α1,α2,α3,α4表示?
(2)a，b为什么数时，β可用α1,α2,α3,α4表示，并且表示方式唯一?
选项
答案利用秩来判断较简单(见用定理3．7的①和②)．为此计算出r(α1,α2,α3,α4)和r(α1,α2,α3,α4，，β)作比较．构造矩阵(α1,α2,α3,α4｜β)，并用初等行变换化阶梯形矩阵： [*] (1)当a+1=0，而b≠0时，r(α1,α2,α3,α4)=2，而r(α1,α2,α3,α4)=3，因此β不能用α1,α2,α3,α4线性表示． (2)当a+1≠0时(b任意)，r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3,α4，β)=4，β可用α1,α2,α3,α4表示，并且表示方式唯一． (如果a+1=0，而b=0，则r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3,α4，β)=2，因此β能用α1,α2,α3,α4线性表示，但是表示方式不唯一．)
解析
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考研数学三

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