设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，其中αn≠0，若Aα1=α2,Aα2=α3，…，Aαn－1=αn，Aαn=0．求A的特征值、特征向量．

admin2017-06-14 33

问题设A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_n是n维列向量，其中α_n≠0，若Aα₁=α₂,Aα₂=α₃，…，Aα_n－1=α_n，Aα_n=0．
求A的特征值、特征向量．

选项

答案将Aα₁=α₂，Aα₂=α₃，…，Aα_n=0用矩阵表示为 A[α₁，α₂，…，α_n]=[α₁，α₂，…，α_n－1，0] [*] 从α₁，α₂，…，α_n线性无关知，矩阵[α₁，α₂，…，α_n]可逆，从而 [*] 得知A的特征值全为0，又因r(A)=r(B)=n－1，所以齐次方程组Ax=0的基础解系仅由 n－(n－1)=1个向量组成，所以A的全部特征向量为kα_n，k≠0．

解析

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考研数学一

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已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
已知3阶矩阵A的第一行是(a，6，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解．
设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数．试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．
设α=(1，1，1)T，β=(1，0，k)T，若矩阵αβT相似于，则k=__________.
设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
设向最组α1，α2，…，αs线性无关，则下列向量组线性相关的是
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设矩阵A，B满足A*BA=2BA-8E，其中E为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则B=________．
(1998年试题，十二)已知线性方程组(I)的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22．…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bn,2n)T．试写出线性方程组(Ⅱ)的通解，并说明理由．

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