2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解。

已知二次型f(x1，x2，x3)=+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解。

admin2020-03-05  27
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=+2(1+a)x1x2的秩为2。
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；
(Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解。
选项
答案(Ⅰ)二次型矩阵A=[*]。二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2，从而 ｜A｜=[*]=-8a=0， 因此a=0。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结论a=0，则A=[*]，由特征多项式 ｜λE-A｜=[*]=(λ-2)[(λ-1)2-1]=λ(λ-2)2得矩阵A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0。 当λ=2，由(2E-A)x=0得特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(0，0，1)T。 当λ=0，由(0E-A)x=0得特征向量α3=(1，-1，0)T。 容易看出α1，α2，α3已两两正交，故只需将它们单位化： [*] 那么令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]，则在正交变换x=Qy下，二次型f(x1，x2，x3)化为标准形f(x1，x2，x3)=xTAx=yTΛy=[*] (Ⅲ)由f(x1，x2，x3)= [*] 所以方程f(x1，x2，x3)=0的通解为k(1，-1，0)T，其中k为任意常数。
解析
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考研数学一

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