(02年)设函数f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,且g(χ)>0.利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点ξ∈[a,b],使 ∫abf(χ)g(χ)dχ=f(ξ)∫abg(χ)dχ.

admin2021-01-25  51

问题 (02年)设函数f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,且g(χ)>0.利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点ξ∈[a,b],使
    ∫abf(χ)g(χ)dχ=f(ξ)∫abg(χ)dχ.

选项

答案因为f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,且g(χ)>0,由最值定理,知f(χ)在[a,b]上有最大值M和最小值m,即 m≤f(χ)≤M 故mg(χ)≤f(χ)g(χ)≤Mg(χ) ∫abmg(χ)dχ≤∫ab(χ)g(χ)dχ≤∫abMg(χ)dχ [*] 由介值定理知,存在ξ∈[a,b],使 [*] 即∫ab(χ)g(χ)dχ=f(ξ)∫abg(χ)dχ

解析
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