2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2． 求A的全部特征值；

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2． 求A的全部特征值；

admin2021-11-09  58
问题 设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2．
求A的全部特征值；
选项
答案设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则 Aα=λα (α≠0)，A2α=λ2α， 于是 (A2+2A)α=(λ2+2λ)α， 由条件A2+2A=O推知 (λ2+2λ)α=0． 又由于α≠0，故 λ2+2λ=0． 解得 λ=-2，λ=0． 因为实对称矩阵A必可对角化，且r(A)=2，所以 [*] 因此，矩阵A的全部特征值为 λ1=λ2=-2，λ3=0．
解析 本题主要考查实对称矩阵特征值的求法及正定矩阵的判定方法．利用A2+2A=O及r(A)=2，求出A的特征值．利用第一问的结果，求出A+kE的特征值，当其特征值均大于零时，A+kE为正定矩阵．
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考研数学二

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