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设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O.已知A的秩r(A)=2. 求A的全部特征值;
设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O.已知A的秩r(A)=2. 求A的全部特征值;
admin
2021-11-09
64
问题
设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A
2
+2A=O.已知A的秩r(A)=2.
求A的全部特征值;
选项
答案
设λ为A的一个特征值,对应的特征向量为α,则 Aα=λα (α≠0),A
2
α=λ
2
α, 于是 (A
2
+2A)α=(λ
2
+2λ)α, 由条件A
2
+2A=O推知 (λ
2
+2λ)α=0. 又由于α≠0,故 λ
2
+2λ=0. 解得 λ=-2,λ=0. 因为实对称矩阵A必可对角化,且r(A)=2,所以 [*] 因此,矩阵A的全部特征值为 λ
1
=λ
2
=-2,λ
3
=0.
解析
本题主要考查实对称矩阵特征值的求法及正定矩阵的判定方法.利用A
2
+2A=O及r(A)=2,求出A的特征值.利用第一问的结果,求出A+kE的特征值,当其特征值均大于零时,A+kE为正定矩阵.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Mwy4777K
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考研数学二
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