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  3. 设f(x)＝F(x)＝∫－1xf(t)dt，则F(x)在x＝0处 ( )

设f(x)＝F(x)＝∫－1xf(t)dt，则F(x)在x＝0处 ( )

admin2020-02-28  44
问题 设f(x)＝F(x)＝∫－1xf(t)dt，则F(x)在x＝0处    (    )
选项 A、极限不存在．
B、极限存在但不连续．
C、连续但不可导．
D、可导．
答案C
解析 法一      写出F(x)的表达式进行讨论．由f(x)的表达式知，
当x＜0时，F(x)＝∫－1xf(t)dt＝∫－1xf(－t)dt＝
当x≥0时，F(x)＝∫－1xf(t)dt＝∫－10f(t)dt＋∫0xf(t)dt
              ＝∫－10(－t)dt＋∫0xetdt＋＝｜－10＋et｜0x＝
即
由上可知F(x)在x＝0处连续，在看是否可导．

所以选(C)．
法二      有下述定理：
设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外连续，而点x＝c是f(x)的跳跃间断点．又设F(x)＝∫x0xf(t)dt，x0∈(a，b)．
则：①F(x)在[a，b]上必连续；
②当x∈[a，b]但x≠c时，F’(x)＝f(x)；
③F’(c)必不存在，并且F’﹢(c)＝f(c﹢﹢)，F’－(c)＝f(c－)．
在做选择题时可套用此结论．
由此定理可知应选(C)．
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考研数学二

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