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设f(x)=F(x)=∫-1xf(t)dt,则F(x)在x=0处 ( )
设f(x)=F(x)=∫-1xf(t)dt,则F(x)在x=0处 ( )
admin
2020-02-28
37
问题
设f(x)=
F(x)=∫
-1
x
f(t)dt,则F(x)在x=0处 ( )
选项
A、极限不存在.
B、极限存在但不连续.
C、连续但不可导.
D、可导.
答案
C
解析
法一 写出F(x)的表达式进行讨论.由f(x)的表达式知,
当x<0时,F(x)=∫
-1
x
f(t)dt=∫
-1
x
f(-t)dt=
当x≥0时,F(x)=∫
-1
x
f(t)dt=∫
-1
0
f(t)dt+∫
0
x
f(t)dt
=∫
-1
0
(-t)dt+∫
0
x
e
t
dt+=
|
-1
0
+e
t
|
0
x
=
即
由上可知F(x)在x=0处连续,在看是否可导.
所以选(C).
法二 有下述定理:
设f(x)在[a,b]上除点c∈(a,b)外连续,而点x=c是f(x)的跳跃间断点.又设F(x)=∫
x
0
x
f(t)dt,x
0
∈(a,b).
则:①F(x)在[a,b]上必连续;
②当x∈[a,b]但x≠c时,F
’
(x)=f(x);
③F
’
(c)必不存在,并且F
’
﹢
(c)=f(c
﹢
﹢),F
’
-
(c)=f(c
-
).
在做选择题时可套用此结论.
由此定理可知应选(C).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MxA4777K
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考研数学二
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