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  3. 设A=E一2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1。则 ①A是对称矩阵； ②A2是单位矩阵； ③A是正交矩阵； ④A是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是( )

设A=E一2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1。则 ①A是对称矩阵； ②A2是单位矩阵； ③A是正交矩阵； ④A是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是( )

admin2019-03-14  39
问题 设A=E一2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1。则
①A是对称矩阵；   
②A2是单位矩阵；
③A是正交矩阵；   
④A是可逆矩阵。
上述结论中，正确的个数是(    )
选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。
答案D
解析 AT=(E一2ξξT)T=ET一(2ξξT)T=E一2ξξT=A，①成立。  
A2=(E一2ξξT)(E一2ξξT)=E一4ξξT+4ξξTξξT=E一4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。
由①、②，得A2=AAT=E，故A是正交矩阵，③成立。
由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A－1=AT，④成立。
故应选D。   
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考研数学二

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