[2014年] 证明n阶矩阵相似．

admin2019-04-15 36

问题 [2014年] 证明n阶矩阵

相似．

选项

答案记[*]因A为实对称矩阵，必可对角化．由|λE－A|=λⁿ－nλ^n-1=λ^n－1(λ－n)=0可知A的特征值为n，0，0，…，0(n－1个。特征值)，故A～diag(n，0，0，…，0)=A．又由|λE－B|=(λ－n)2^n－1=0得到B的n个特征值为n，0，0，…，0(n－1个0特征值)．当λ=0时，秩(0E－B)=秩(B)=1，则n－秩(0E-B)=n－1，即齐次方程组(OE-B)X=0有n－1个线性无关的解，亦即λ=0时，B有n－1个线性无关的特征向量．又λ=n时，秩(nE－B)=n－1，则n－秩(nE－B)=n－(n－1)=1，即齐次线性方程组(nE－B)X=0有一个线性无关的解，亦即B的属于特征值λ=n的线性无关的特征向量只有一个，从而B有n个线性无关的特征向量，于是B必与对角矩阵相似，且B～Λ=diag(n，0，0，…，0)，由相似的传递性：A～Λ～B得到A～B．或由A～Λ存在可逆矩阵P₁使P₁^－1AP₁=Λ，由B～Λ存在可逆矩阵P₂^-1BP₂=Λ，于是由P₁^－1AP₁=P₂^－1BP₂，得到P₂P₁^－1AP₁P₂^－1=(P₁P₂^－1)^－1AP₁P₂^－1=B．令P=P₁P₂^－1，则P可逆，且使P^－1AP=B(此法常称为用合成的方法求可逆矩阵P)，因而A～B．

解析

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考研数学三

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