2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，A2=A， r(A)=r；证明A能对角化，并求A的相似标准形．

设A是n阶矩阵，A2=A， r(A)=r；证明A能对角化，并求A的相似标准形．

admin2016-10-26  39
问题 设A是n阶矩阵，A2=A，  r(A)=r；证明A能对角化，并求A的相似标准形．
选项
答案对A按列分块，记A=(α1，α2，…，αn)．由r(A)=r，知A中有r个列向量线性无关， 不妨设为α1，α2，…，αr，因为A2=A，即 A(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)，所以 Aα1=α1=1.α1， …， Aαr=αr=1.αr． 那么λ=1是A的特征值，α1，α2，…，αr是其线性无关的特征向量． 对于齐次线性方程组Ax=0，其基础解系由n—r(A)=n—r个向量组成．因此，0是A的特征值，基础解系是λ=0的特征向量．从而A有n个线性无关的特征向量，A可以对角化(λ=1是r重根，λ=0是，n—r重根)，且有 [*]
解析
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考研数学一

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