设A是n阶矩阵，A2=A， r(A)=r；证明A能对角化，并求A的相似标准形．

admin2016-10-26 23

问题设A是n阶矩阵，A²=A， r(A)=r；证明A能对角化，并求A的相似标准形．

选项

答案对A按列分块，记A=(α₁，α₂，…，α_n)．由r(A)=r，知A中有r个列向量线性无关，不妨设为α₁，α₂，…，α_r，因为A²=A，即 A(α₁，α₂，…，α_n)=(α₁，α₂，…，α_n)，所以 Aα₁=α₁=1.α₁， …， Aα_r=α_r=1.α_r．那么λ=1是A的特征值，α₁，α₂，…，α_r是其线性无关的特征向量．对于齐次线性方程组Ax=0，其基础解系由n—r(A)=n—r个向量组成．因此，0是A的特征值，基础解系是λ=0的特征向量．从而A有n个线性无关的特征向量，A可以对角化(λ=1是r重根，λ=0是，n—r重根)，且有 [*]

解析

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考研数学一

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(1)设f(x)在R上有定义，证明：y＝f(x)的图形关于直线x＝1对称的充要条件是f(x)满足f(x+1)＝f(1－x)，x∈R(2)设f(x)在R上有定义，且y＝f(x)的图形关于直线x＝1与直线x＝2对称，证明：f(x)是周期函数，并求f(x
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