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设A是n阶矩阵,A2=A, r(A)=r;证明A能对角化,并求A的相似标准形.
设A是n阶矩阵,A2=A, r(A)=r;证明A能对角化,并求A的相似标准形.
admin
2016-10-26
62
问题
设A是n阶矩阵,A
2
=A, r(A)=r;证明A能对角化,并求A的相似标准形.
选项
答案
对A按列分块,记A=(α
1
,α
2
,…,α
n
).由r(A)=r,知A中有r个列向量线性无关, 不妨设为α
1
,α
2
,…,α
r
,因为A
2
=A,即 A(α
1
,α
2
,…,α
n
)=(α
1
,α
2
,…,α
n
),所以 Aα
1
=α
1
=1.α
1
, …, Aα
r
=α
r
=1.α
r
. 那么λ=1是A的特征值,α
1
,α
2
,…,α
r
是其线性无关的特征向量. 对于齐次线性方程组Ax=0,其基础解系由n—r(A)=n—r个向量组成.因此,0是A的特征值,基础解系是λ=0的特征向量.从而A有n个线性无关的特征向量,A可以对角化(λ=1是r重根,λ=0是,n—r重根),且有 [*]
解析
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