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  3. 设f(x)具有二阶连续导数，且f’(1)=0，，则( )

设f(x)具有二阶连续导数，且f’(1)=0，，则( )

admin2019-11-05  12
问题 设f(x)具有二阶连续导数，且f’(1)=0，，则(    )
选项 A、 f(1)是f(x)的极大值。
B、 f(1)是f(x)的极小值。
C、(1，f(1))是曲线f(x)的拐点。
D、 f(1)不是f(x)的极值，(1，f(1))也不是曲线f(x)的拐点。
答案B
解析 方法一：因，由极限的保号性知，存在δ＞0，当0＜｜x－1｜＜δ时，，又因(x－1)2＞0(x≠1)，所以当0＜｜x－1｜＜δ时，f”(x)＞0，因此f’(x)在(1－δ，1＋δ)上单调递增，从而当1－δ＜x＜1时，f’(x)＜f’(1)＝0，当l＜x＜1＋δ时，f’(x)＞f’(1)＝0，由函数取得极值的充分条件可知f(1)是f(x)的极小值。故选(B)。
方法二：由方法一的分析知f(x)在(1－δ，1＋δ)上为凹函数，直接由凹函数的特征知，f(x)≥f(1)＋f’(1)(x－1)＝f(1)(x∈(1－δ，1＋δ)，x≠1)。故选(B)。方法三：选取特殊函数f(x)满足。取，则f(x)满足题中条件f(x)在x＝1处取得极小值，而其余选项均不正确。故选(B)。
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考研数学一

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