设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+33．求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

admin2021-02-25 34

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的3维列向量，且满足
Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3₃．
求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案对应于λ₁=λ₂=1，解齐次线性方程组(E-B)x=0，得基础解系 ξ₁=(-1，1，0)^T，ξ₂=(-2，0，1)^T；对应于λ₃=4，解齐次线性方程组(4E-B)x=0，得基础解系 ξ₃=(0，1，1)^T．令矩阵 [*] 则 [*] 因Q^-1BQ=Q^-1C^-1ACQ=(CQ)^-1A(CQ)，记矩阵 [*] 故P即为所求的可逆矩阵．

解析

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考研数学二

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设f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f’(x)＞0．(Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b—ξ)；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，6)，求．
已知A是三阶矩阵，a1，a2，a3是线性无关的三维列向量，满足(Ⅰ)求矩阵A的特征值；(Ⅱ)求矩阵A的特征向量；(Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩．
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设A是n阶矩阵，证明：(Ⅰ)r(A)＝1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A＝αβT；(Ⅱ)r(A)＝1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．
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