设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+33．求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

admin2021-02-25 65

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的3维列向量，且满足
Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3₃．
求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案对应于λ₁=λ₂=1，解齐次线性方程组(E-B)x=0，得基础解系 ξ₁=(-1，1，0)^T，ξ₂=(-2，0，1)^T；对应于λ₃=4，解齐次线性方程组(4E-B)x=0，得基础解系 ξ₃=(0，1，1)^T．令矩阵 [*] 则 [*] 因Q^-1BQ=Q^-1C^-1ACQ=(CQ)^-1A(CQ)，记矩阵 [*] 故P即为所求的可逆矩阵．

解析

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