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  3. 设Ω={(x，y，z)｜z≤，计算三重积∫∫∫Ωzdv

设Ω={(x，y，z)｜z≤，计算三重积∫∫∫Ωzdv

admin2016-07-22  34
问题 设Ω={(x，y，z)｜z≤，计算三重积∫∫∫Ωzdv
选项
答案方法一 用球面坐标． x=ρsinφcosθ，y=ρsinφsinθ，z=ρcosφ，dv=ρ2sinφdρdφdθ． 在球面坐标下， [*] 方法二 用直角坐标．先(x，y)后z，即先将Ω投影到z轴，得区间[0，4]．对于z∈[0，4]，作平面z=z截Ω得环域Dz={(x，y)｜[*]}，于是 [*] 方法三 用柱面坐标．先(r，θ)后z，其中(r，θ)在Dz上进行，Dz={(r，θ)｜z≤r≤[*]，0≤θ≤2π}， [*] 方法四 仍用柱面坐标，不过先z后(r，θ)．为此，将Ω投影到xOy平面，投影域记为 D={(x，y)｜x2+y2≤[*]=48}． 但仔细分析，D由两部分组成： D1={(x，y)｜x2+y2≤42=16)， D2={(x，y)｜16≤x2+y2≤48)，D=D1∪D2． [*] 方法五 D1与D2如方法四， [*]
解析
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考研数学一

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