2. 考研
  3. 设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0,证明：存在ξ∈[0,1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.

设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0,证明：存在ξ∈[0,1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.

admin2021-11-25  44
问题 设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0,证明：存在ξ∈[0,1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.
选项
答案因为f’(x)在区间[0,1]上连续，所以f’(x)在区间[0,1]上取到最大值M和最小值m,对f(x)－f(0)=f’(c)x（其中c介于0与x之间）两边积分得 ∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx 由m≤f’(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f’(c)xdx≤M∫01xdx 即m≤2∫01f’(c)xdx≤M,或m≤2∫01f(x)dx≤M 由介值定理，存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.
解析
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考研数学二

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