设曲线y=y(x)(x>0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴. (Ⅰ)求曲线y=y(x)的表达式; (Ⅱ)求曲线y=y(x)到x轴的最大距离; (Ⅲ)计算积分∫0+∞y(x)dx.

admin2021-05-19  43

问题 设曲线y=y(x)(x>0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴.
(Ⅰ)求曲线y=y(x)的表达式;
(Ⅱ)求曲线y=y(x)到x轴的最大距离;
(Ⅲ)计算积分∫0+∞y(x)dx.

选项

答案(Ⅰ)微分方程的特征方程为 2λ2+λ-1=0, 特征值为λ1=-1,λ2=[*],则微分方程2y"+y’-y=0的通解为 [*] 令非齐次线性微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的特解为y0(x)=x(ax+b)e-x,代入原方程得a=1,b=0,故原方程的特解为y0(x)=x2e-x,原方程的通解为 [*] 由初始条件y(0)=y’(0)=0得C1=C2=0,故y=x2e-x. (Ⅱ)曲线y=x2e-x到x轴的距离为d=x2e-x, 令d’=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x=0,得x=2. 当x∈(0,2)时,d’>0; 当x>2时,d’<0, 则x=2为d=x2e-x的最大值点,最大距离为d(2)=[*] (Ⅲ)∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2e-xdx=2.

解析
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