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设曲线y=y(x)(x>0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴. (Ⅰ)求曲线y=y(x)的表达式; (Ⅱ)求曲线y=y(x)到x轴的最大距离; (Ⅲ)计算积分∫0+∞y(x)dx.
设曲线y=y(x)(x>0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴. (Ⅰ)求曲线y=y(x)的表达式; (Ⅱ)求曲线y=y(x)到x轴的最大距离; (Ⅲ)计算积分∫0+∞y(x)dx.
admin
2021-05-19
60
问题
设曲线y=y(x)(x>0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e
-x
的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴.
(Ⅰ)求曲线y=y(x)的表达式;
(Ⅱ)求曲线y=y(x)到x轴的最大距离;
(Ⅲ)计算积分∫
0
+∞
y(x)dx.
选项
答案
(Ⅰ)微分方程的特征方程为 2λ
2
+λ-1=0, 特征值为λ
1
=-1,λ
2
=[*],则微分方程2y"+y’-y=0的通解为 [*] 令非齐次线性微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e
-x
的特解为y
0
(x)=x(ax+b)e
-x
,代入原方程得a=1,b=0,故原方程的特解为y
0
(x)=x
2
e
-x
,原方程的通解为 [*] 由初始条件y(0)=y’(0)=0得C
1
=C
2
=0,故y=x
2
e
-x
. (Ⅱ)曲线y=x
2
e
-x
到x轴的距离为d=x
2
e
-x
, 令d’=2xe
-x
-x
2
e
-x
=x(2-x)e
-x
=0,得x=2. 当x∈(0,2)时,d’>0; 当x>2时,d’<0, 则x=2为d=x
2
e
-x
的最大值点,最大距离为d(2)=[*] (Ⅲ)∫
0
+∞
y(x)dx=∫
0
+∞
x
2
e
-x
dx=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Nby4777K
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考研数学二
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