证明对于任何m×n实矩阵A,ATA的负惯性指数为0.如果A秩为n,则ATA是正定矩阵.

admin2017-10-21  26

问题 证明对于任何m×n实矩阵A,ATA的负惯性指数为0.如果A秩为n,则ATA是正定矩阵.

选项

答案证明ATA的特征值都不为负数,并且在A秩为n时ATA的特征值都大于0. 设λ是A的一个特征值,η是属于它的一个特征向量,即有ATAη=λη,于是ηTATAη=ληTη,即 (Aη,Aη)=λ(η,η).则λ=(λη,Aη)/(η,η)≥0. 如果A秩为n,则AX=0没有非零解,从而Aη≠0,(Aη,A0)>0,因此 λ=(Aη,Aη)/(η,η)>0.

解析
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