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若n阶矩阵A=[α1,α2,…,αn-1,αn]的前n-1个列向量线性相关,后,n-1个列向量线性无关,β=α1+α2+…+αn.证明: 若(k1,k2,…,kn)T是Ax=B的任一解,则kn=1.
若n阶矩阵A=[α1,α2,…,αn-1,αn]的前n-1个列向量线性相关,后,n-1个列向量线性无关,β=α1+α2+…+αn.证明: 若(k1,k2,…,kn)T是Ax=B的任一解,则kn=1.
admin
2017-06-14
71
问题
若n阶矩阵A=[α
1
,α
2
,…,α
n-1
,α
n
]的前n-1个列向量线性相关,后,n-1个列向量线性无关,β=α
1
+α
2
+…+α
n
.证明:
若(k
1
,k
2
,…,k
n
)
T
是Ax=B的任一解,则k
n
=1.
选项
答案
因为α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性相关,故存在不全为零的实数l
1
,l
2
,…,l
n-1
,使 l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+lα
n-1
α
n-1
=0,即 [*] 又因r(A)=n-1,故(l
1
,…,l
n-1
,0)
T
是Ax=0的基础解系. 又 [*] = α
1
+α
2
+…+α
n
=β, 故(1,1,…,1)
T
是Ax=β的一个特解,于是Ax=β通解是 (1,1,…,1)
T
+k(l
1
,l
2
,…,l
n-1
,0). 因此,当(k
1
,…,k
n
)
T
是Ax=β的解时,必有k
n
=1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Ndu4777K
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考研数学一
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