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  3. [2014年] 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )．

[2014年] 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )．

admin2019-03-30  52
问题 [2014年]  设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在区间[0，1]上(    )．
选项 A、当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B、当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C、当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D、当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)
答案D
解析 解一  令φ(x)=f(x)－g(x)，则
    φ(x)=f(x)－f(0)(1－x)－f(1)x，
    且φ’(x)=f’(x)+f(0)－f(1)，φ"(x)=f"(x)．
    当f"(0)≥0时，φ"(x)=f"(0)≥0，φ(x)为凹函数．
    因φ(0)=φ(1)=0，由命题1．2．4．2(2)知，当x∈[0，1]时，φ(x)≤0，即f(x)≤g(x)，仅(D)入选．
    解二  由g(x)的表达式知，g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，即f(x)与g(x)在区间[0，1]端点的函数值相等，又g(x)=f(0)+[f(1)－f(0)]x是一条直线，斜率k=f(1)－f(0)．当f"(0)≥0时，f(x)在区间[0，1]上是凹的，而g(x)是连接f(x)两个端点的弦(见图1．2．4．2)故f(x)≤g(x)．仅(D)入选．
            
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考研数学三

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