设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；

admin2018-12-19 56

问题设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。
试证存在x₀∈(0，1)，使得在区间[0，x₀]上以f(x₀)为高的矩形面积等于在区间[x₀，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；

选项

答案本题可转化为证明x₀f(x₀)=∫_x₀¹。令φ(x)=一x∫_x¹f(t)dt，则φ(x)在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理可知，存在一点x₀∈(0，1)，使得φ’(x₀)=0，即 φ’(x₀)=x₀f(x₀)一∫_x₀¹dt=0。也就是 x₀f(x₀)=∫_x₀¹f(x)dx。

解析

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考研数学二

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(2012年)求函数f(χ，y)＝χ的极值．
(2008年)(Ⅰ)证明积分中值定理：若函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(χ)dχ＝f(η)(b－a)；(Ⅱ)若函数φ(χ)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫φ(χ)dχ，则至少存
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(2000年试题，九)已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且F(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的

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