设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是

admin2017-04-23 56

问题设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是

选项 A、r(A)=r(B)．
B、|A|=|B|．
C、A与B有相同的特征多项式．
D、A、B有相同的特征值λ₁，…，λ_n，且λ₁，…，λ_n互不相同．

答案D

解析当n阶方阵有n个互不相同特征值时，它必相似于对角矩阵．故在选项(D)的条件下，存在适当的可逆矩阵P、Q，使P^一1AP=D，Q^一1BQ=D，其中D=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)为对角矩阵，故有P^一1AP=Q^一1BQ，

QP^一1APQ^一1=B，→(PQ^一1)^一1A(PQ^一1)=B，记矩阵M=PQ^一1，则M可逆，且使M^一1AM=B，所以在选项(D)的条件下，A与B必相似．

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考研数学二

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