设A、B都是n阶矩阵,则A与B相似的一个充分条件是

admin2017-04-23  28

问题 设A、B都是n阶矩阵,则A与B相似的一个充分条件是

选项 A、r(A)=r(B).
B、|A|=|B|.
C、A与B有相同的特征多项式.
D、A、B有相同的特征值λ1,…,λn,且λ1,…,λn互不相同.

答案D

解析 当n阶方阵有n个互不相同特征值时,它必相似于对角矩阵.故在选项(D)的条件下,存在适当的可逆矩阵P、Q,使P一1AP=D,Q一1BQ=D,其中D=diag(λ1,λ2,…,λn)为对角矩阵,故有P一1AP=Q一1BQ,QP一1APQ一1=B,→(PQ一1)一1A(PQ一1)=B,记矩阵M=PQ一1,则M可逆,且使M一1AM=B,所以在选项(D)的条件下,A与B必相似.
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