2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T． 求A的属于特征值3的特征向量；

设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T． 求A的属于特征值3的特征向量；

admin2021-02-25  9
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．
求A的属于特征值3的特征向量；
选项
答案设A的属于特征值3的特征向量为 α3=(x1，x2，x3)T． 因为实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交，所以 α1Tα3=0和α2Tα3=0， 即x1，x2，x3是齐次线性方程组 [*] 的非零解，解得其基础解系为(1，0，1)T． 因此A的属于特征值3的特征向量为 α3=k(1，0，1)T， 其中k为任意非零常数．
解析 本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题，即由矩阵A的特征值和特征向量如何求A．利用实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量均正交，可求得A的属于特征值3的特征向量，设为α3，记P=(α1，α2，α3)，有
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考研数学二

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