设f(x)在(一∞,+∞)上是正值连续函数,判别φ(x)=∫—aa|x一u|f(u)du在(一∞,+∞)上的凹凸性.

admin2019-08-06  29

问题 设f(x)在(一∞,+∞)上是正值连续函数,判别φ(x)=∫—aa|x一u|f(u)du在(一∞,+∞)上的凹凸性.

选项

答案用二阶导数的符号判定. φ(x)=∫—ax(x一u)f(u)du+∫xa(u一x)d(u)du =x∫—axf(u)du—∫—axuf(u)du+∫xauf(u)du—x∫xaf(u)du, φ’(x)=∫—axf(u)du+xf(x)一xf(x)一xf(x)一∫xaf(u)du+xf(x) =∫—axf(u)du—∫xaf(u)du, φ"(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0. 所以,φ(x)是(一∞,+∞)上的上凹函数(或下凸函数).

解析
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