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已知A=,a是一个实数. (1)求作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵. (2)计算|A—E|.
已知A=,a是一个实数. (1)求作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵. (2)计算|A—E|.
admin
2018-11-20
40
问题
已知A=
,a是一个实数.
(1)求作可逆矩阵U,使得U
-1
AU是对角矩阵.
(2)计算|A—E|.
选项
答案
(1)先求A的特征值. |λE一A|=[*]=(λ一a一1)
2
(λ一a+2) A的特征值为a+1(二重)和a—2(一重). 求属于a+1的两个线性无关的特征向量,即求[A一(a+1)E]X=0的基础解系: [*] 得[A一(a+1)E]X=0的同解方程组 x
1
=x
2
+x
3
, 得基础解系η
1
=(1,1,0)
T
,η
2
=(1,0,1)
T
. 求属于a—2的一个特征向量,即求[A一(a一2)E]X=0的一个非零解: [*] 得[A一(a—2)E]X=0的同解方程组 [*] 得解η
3
=(一1,1,1)
T
. 令U=(η
1
,η
2
,η
3
),则 [*] (2)A—E的特征值为a(二重)和a一3,于是|A—E|=a
2
(a—3).
解析
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考研数学三
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