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设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1,且α1,α2,α3是它的三个解向量.若α1+α2=[1,2,一4]T, α2+α3=[0,一2,2]T, α3+α1=[1,0,一1]T,则该非齐次线性方程组的通解为___________.
设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1,且α1,α2,α3是它的三个解向量.若α1+α2=[1,2,一4]T, α2+α3=[0,一2,2]T, α3+α1=[1,0,一1]T,则该非齐次线性方程组的通解为___________.
admin
2019-08-09
11
问题
设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1,且α
1
,α
2
,α
3
是它的三个解向量.若α
1
+α
2
=[1,2,一4]
T
, α
2
+α
3
=[0,一2,2]
T
, α
3
+α
1
=[1,0,一1]
T
,则该非齐次线性方程组的通解为___________.
选项
答案
c
1
[1,4,一6]
T
+c
2
[一1,2,3]
T
+[1,0,一2]
T
解析
设AX=b为三元非齐次线性方程组.由题设n=3,r(A)=1,因而Ax=0的一个基础解系含n一r(A)=3—1=2个解向量.
因 α
1
+α
2
一(α
2
+α
3
)=[1,4,一6]
T
=α
1
一α
3
,
α
2
+α
3
一(α
3
+α
1
)=[一1,一2,3]
T
=α
2
一α
1
,
而α
1
一α
3
,α
2
一α
1
均为Ax=0的解向量,且不成比例,故线性无关,可视为AX=0的一个基础解系.又因
(α
1
+α
2
)+(α
2
+α
3
)+(α
3
+α
1
)=2(α
1
+α
2
+α
3
)=[2,0,一3]
T
,
即 α
1
+α
2
+α
3
=[1,0,一3/2]
T
, ①
又 α
1
+α
2
+α
2
+α
3
=[1,0,一2]
T
, ②
由式②一式①得到α
2
=[0,0,1/2]
T
,此为AX=b的特解,从而所求通解为
c
1
(α
1
一α
3
)+c
2
(α
2
一α
1
)+α
2
=c
1
[1,4,一6]
T
+c
2
[一1,2,3]
T
+[1,0,一2]
T
.
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考研数学一
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