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  3. 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，且α1，α2，α3是它的三个解向量．若α1+α2=[1，2，一4]T， α2+α3=[0，一2，2]T， α3+α1=[1，0，一1]T，则该非齐次线性方程组的通解为___________．

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，且α1，α2，α3是它的三个解向量．若α1+α2=[1，2，一4]T， α2+α3=[0，一2，2]T， α3+α1=[1，0，一1]T，则该非齐次线性方程组的通解为___________．

admin2019-08-09  23
问题 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，且α1，α2，α3是它的三个解向量．若α1+α2=[1，2，一4]T，  α2+α3=[0，一2，2]T，  α3+α1=[1，0，一1]T，则该非齐次线性方程组的通解为___________．
选项
答案c1[1，4，一6]T+c2[一1，2，3]T+[1，0，一2]T
解析 设AX=b为三元非齐次线性方程组．由题设n=3，r(A)=1，因而Ax=0的一个基础解系含n一r(A)=3—1=2个解向量．
因    α1+α2一(α2+α3)=[1，4，一6]T=α1一α3，
α2+α3一(α3+α1)=[一1，一2，3]T=α2一α1，
而α1一α3，α2一α1均为Ax=0的解向量，且不成比例，故线性无关，可视为AX=0的一个基础解系．又因
(α1+α2)+(α2+α3)+(α3+α1)=2(α1+α2+α3)=[2，0，一3]T，
即    α1+α2+α3=[1，0，一3／2]T，    ①
又    α1+α2+α2+α3=[1，0，一2]T，    ②
由式②一式①得到α2=[0，0，1／2]T，此为AX=b的特解，从而所求通解为
c1(α1一α3)+c2(α2一α1)+α2=c1[1，4，一6]T+c2[一1，2，3]T+[1，0，一2]T．
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