解下列微分方程： (I) y”一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解； (Ⅱ) y”+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ) y"’+y”+y’+y=0的通解．

admin2019-07-19 76

问题解下列微分方程：
(I) y”一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=

的特解；
(Ⅱ) y”+a²y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数；
(Ⅲ) y"’+y”+y’+y=0的通解．

选项

答案(I)对应齐次方程的特征方程为λ²一7λ+12=0，它有两个互异的实根λ₁=3与λ₂=4，所以，其通解为[*]=C₁e^3x+C₂e^4x，其中C₁与C₂是两个任意常数．由于0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B．代入方程可得A=[*]所以，原方程的通解为[*] 代入初始条件，则得[*] 因此所求的特解为[*] (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为y(x)=C₁cosax+C₂sinax．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 [*] 所以，通解为[*]+C₁cosax+C₂sinax，其中C₁，C₂是两个任意常数． ②当a=b时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得 [*] 原方程的通解为y(x)=[*]+C₁cosax+C₂sinax，其中C₁，C₂是两个任意常数． (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为λ³+λ²+λ+1=0，分解得(λ+1)(λ²+1)=0，其特征根为λ₁=一1，λ_2,3=±i，所以方程的通解为 y(x)=C₁e^-x+C₂cosx+C₃sinx，其中C₁，C₂，C₃为任意常数．

解析

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考研数学一

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解下列微分方程： (I) y”一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解； (Ⅱ) y”+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ) y"’+y”+y’+y=0的通解．

考研数学一

设向量β可由向量组α1，α2，...,αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...,αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，...,αm-1，β，则

设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)—f(y)｜≤M｜x—y｜k．(1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续；(2)证明：当｜k｜＞1时，f(x)=常数．

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2

设f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f(1)=0，试证：ξ∈(0，1)使得

设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。

设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为和S2，记．试求：E(T)与E(T2)的值．

直线与直线，之间的关系是()

设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限．

设两总体X，Y相互独立，X～N(μ1，60)，Y～N(μ2，36)，从X，Y中分别抽取容量为n1＝75，n2＝50的样本，且算得＝82，＝76，求μ1－μ2的95％的置信区间．

设f(x)连续可导，导数不为0，且f(x)存在反函数f-1(x)，又F(x)是f(x)的一个原函数，则不定积分

西方秘书女性化是秘书这一职业本身的一种要求，换言之，西方秘书女性化的出现是因为

短暂性脑缺血发作的特点是

肾小管重吸收主要按下列哪种方式进行

根据《药品不良反应报告和监测管理办法》，药品不良反应是指

样本数据特征值中的变异系数Cv＝S/χ100%，其中S代表(　　)。

(2008年考试真题)不是影响债券利率的因素有()。

证券公司存在下列()情形的，不会被暂停签订新的集合及定向资产管理合同。

设函数f(y)的反函数f-1(x)及f’[f-1(x)]与f’’[f-1(x)]都存在，且f-1[f-1(x)]≠0．证明：

ADreamoftheRedChamberissaid______intodozensoflanguagesinthelastdecade.

A、Itallowshimtomakealotoffriends.B、Itrequireshimtoworklonghours.C、Itenableshimtoapplytheorytopractice.D、

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