解下列微分方程： (I) y”一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解； (Ⅱ) y”+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ) y"’+y”+y’+y=0的通解．

admin2019-07-19 92

问题解下列微分方程：
(I) y”一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=

的特解；
(Ⅱ) y”+a²y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数；
(Ⅲ) y"’+y”+y’+y=0的通解．

选项

答案(I)对应齐次方程的特征方程为λ²一7λ+12=0，它有两个互异的实根λ₁=3与λ₂=4，所以，其通解为[*]=C₁e^3x+C₂e^4x，其中C₁与C₂是两个任意常数．由于0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B．代入方程可得A=[*]所以，原方程的通解为[*] 代入初始条件，则得[*] 因此所求的特解为[*] (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为y(x)=C₁cosax+C₂sinax．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 [*] 所以，通解为[*]+C₁cosax+C₂sinax，其中C₁，C₂是两个任意常数． ②当a=b时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得 [*] 原方程的通解为y(x)=[*]+C₁cosax+C₂sinax，其中C₁，C₂是两个任意常数． (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为λ³+λ²+λ+1=0，分解得(λ+1)(λ²+1)=0，其特征根为λ₁=一1，λ_2,3=±i，所以方程的通解为 y(x)=C₁e^-x+C₂cosx+C₃sinx，其中C₁，C₂，C₃为任意常数．

解析

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考研数学一

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解下列微分方程： (I) y”一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解； (Ⅱ) y”+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ) y"’+y”+y’+y=0的通解．

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设证明：级数收敛，并求其和．

(1)设x＞0，y＞0，z＞0，求函数f(x，y，z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2(R＞0为常数)下的最大值；(2)由(1)的结论证明：当a＞0，b＞0，c＞0时，下述不等式成立：

设线性方程组AX=β有3个不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)=n一2，n是未知数个数，则()正确．

曲线积分∮C(x2+y2)ds，其中C是圆心在原点、半径为a的圆周，则积分值为()

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设求∫0πf(x)dx．

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