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  3. 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。 证明xn存在，并求该极限；

设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。 证明xn存在，并求该极限；

admin2018-11-19  82
问题 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。
证明xn存在，并求该极限；
选项
答案0＜x1＜π，则0＜x2=sinx1≤1＜π。 由数学归纳法知0＜xn+1=sinxn≤1<π，n=1，2，…，即数列{xn}有界。 于是[*](因当x＞0时，sinx＜x)，则有xn+1＜xn，可见数列{xn}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限[*]存在。 设[*]，在xn+1=sinxn两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即[*]。
解析
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考研数学二

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