2. 考研
  3. (2009年)设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x) 与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

(2009年)设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x) 与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

admin2021-01-25  103
问题 (2009年)设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x) 与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。
选项
答案旋转体的体积为V=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx。曲边梯形的面积为S=∫1tf(x)dx，则由题可知 V=πtS，即π∫1tf2(x)dx=πt∫1tf(x)dx，也就是∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx。 两边对t求导可得 f2(t)=∫1tf(x)dx+tf(t)，即f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx (*) 继续求导可得 2f(t)f’(t)一f(t)一tf’(t)=f(t)， 记f(t)=y，化简可得 [*] 在(*)式中令t=1，则f2(1)一f(1)=f(1)[f(1)一1]=0，因为f(t)＞0，所以f(1)=1。代入[*] 所以该曲线方程为[*]
解析
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考研数学三

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