2. 考研
  3. A，B，C均是n阶矩阵，且AB=O，AC+C=O．如秩(B)+秩(C)=n，证明A∽A，并求对角阵A．

A，B，C均是n阶矩阵，且AB=O，AC+C=O．如秩(B)+秩(C)=n，证明A∽A，并求对角阵A．

admin2016-11-03  21
问题 A，B，C均是n阶矩阵，且AB=O，AC+C=O．如秩(B)+秩(C)=n，证明A∽A，并求对角阵A．
选项
答案设B，C的n个列向量分别为 B=[β1，β2，…，βn]， C=[η1，η2，…，ηn]， 则由AB=O得A[β1，β2，…，βn]=O，即 Aβi=0=0βi (i=1，2，…，n)． 又设秩(B)=k，则0为A的特征值，且属于特征值0的线性无关的特征向量有k个． 又由AC+C一0得到AC=－C，即 A[η1，η2，…，ηn]=－[η1，η2，…，ηn]， 则 Aηi=－ηi=(一1)ηi， 故一1为A的特征值．因 秩(C)=n一秩(B)=n一k， 故属于特征值一1的线性无关的特征向量共有n一k个．因而A有n个线性无关的特征向量，故A∽A．且 [*]
解析 将所给矩阵方程都转化为A的特征值、特征向量的有关问题证明A有n个线性无关的特征向量．
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考研数学一

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