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设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
admin
2017-06-26
49
问题
设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
选项
答案
必要性:设B
T
AB正定,则对任意n维非零列向量χ,有χ
t
(B
T
AB)χ>0,即(Bχ)
T
A(Bχ)>0,于是Bχ≠0.因此,Bχ=0只有零解,从而有r(B)=n. 充分性 因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
AB,故B
T
AB为实对称矩阵,若r(B)=n,则齐次线性方程组Bχ=0只有零解,从而对任意n维非零列向量χ,有Bχ≠0,又A为正定矩阵,所以对于Bχ≠0,有(Bχ)
T
A(Bχ)>0,于是当χ≠0时,χ
T
(B
T
AB)χ=(Bχ)
T
A(Bχ)>0,故B
T
AB为正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OVH4777K
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考研数学三
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