设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．

admin2017-06-26 99

问题设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．

选项

答案必要性：设B^TAB正定，则对任意n维非零列向量χ，有χ^t(B^TAB)χ＞0，即(Bχ)^TA(Bχ)＞0，于是Bχ≠0．因此，Bχ＝0只有零解，从而有r(B)＝n．充分性因(B^TAB)^T＝B^TA^TB＝B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵，若r(B)＝n，则齐次线性方程组Bχ＝0只有零解，从而对任意n维非零列向量χ，有Bχ≠0，又A为正定矩阵，所以对于Bχ≠0，有(Bχ)^TA(Bχ)＞0，于是当χ≠0时，χ^T(B^TAB)χ＝(Bχ)^TA(Bχ)＞0，故B^TAB为正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OVH4777K

考研数学三

相关试题推荐

设a1，a2，…，as均为n维列向量，A是m×n矩阵，则下列选项正确的是()．
设曲线方程为y=e-x(x≥0)．(Ⅰ)把曲线y=e-x(x≥0)、x轴、y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围成平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)，求满足(Ⅱ)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出
方程yy’’=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的通解为__________．
设4维向量组a1=(1+a，1，1，1)T，a2=(2，2+a，2，2)T，a3=(3，3，3+a，3)T，a4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，a1，a2，a3，a4线性相关?当a1，a2，a3，a4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其
设随机变量X服从于参数为(2，p)的二项分布，随机变量y服从于参数为(3，p)的二项分布，若P{X≥1}=5/9，则P{Y≥1}=__________．
设曲线与直线y=mx(m>0)所围图形绕x轴旋转一周与绕Y轴旋转一周所得旋转体体积相等，则m=___________．
与曲线(y一2)2=x相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直，则此直线方程为_________．
利用曲线积分计算柱面x2／5＋y2＝1位于y≥0，z≥0的部分被平面y＝z所截一块的面积．
设有n台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi(i=1，2，…．n)．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1，X2．…，Xn设E(Xi)=θ(i=1，2，…，n)，问k1，k2，…，k3应取何值，才能在使用估计θ时，无偏，并

随机试题

四环素的不良反应有
泉州清净寺是我国现存最古老的典型阿拉伯式清真寺。()
某地区1999年平均人口为20万，该地区1998年结核病患者为1226人，其中治愈134例，死亡16例。1999年底结核病患者为1854人，则该地区1999年结核病发病率为
RNA分子中所含的碱基是DNA分子中所含的碱基是
城市一次送电电压为()kV。
合同付款的四个阶段是(　　)。
证券公司营业部必须在营业场所发布股份转让的价格信息，转让日当天的价格信息发布内容有(　　)。
BillGates,thebillionaireMicrosoftchairmanwithoutasingleearneduniversitydegree,isbyhissuccessraisingnewdoubtsa
在实施企业业务流程改造的过程中，许多企业领导人和员工在变革之初对变革抱有很大期望和热情，但在变革实施以后发现似乎一切又恢复了老样子，其遗憾的原因往往在于变革的设计者和领导者未能在变革中坚持企业流程改造的核心原则。即(4)。
查询“教师表”的全部记录并存储于临时文件one．dbf中的SQL命令是

最新回复(0)

设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．

考研数学三

设a1，a2，…，as均为n维列向量，A是m×n矩阵，则下列选项正确的是()．

方程yy’’=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的通解为__________．

设4维向量组a1=(1+a，1，1，1)T，a2=(2，2+a，2，2)T，a3=(3，3，3+a，3)T，a4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，a1，a2，a3，a4线性相关?当a1，a2，a3，a4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其

设随机变量X服从于参数为(2，p)的二项分布，随机变量y服从于参数为(3，p)的二项分布，若P{X≥1}=5/9，则P{Y≥1}=__________．

设曲线与直线y=mx(m>0)所围图形绕x轴旋转一周与绕Y轴旋转一周所得旋转体体积相等，则m=___________．

与曲线(y一2)2=x相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直，则此直线方程为_________．

利用曲线积分计算柱面x2／5＋y2＝1位于y≥0，z≥0的部分被平面y＝z所截一块的面积．

四环素的不良反应有

泉州清净寺是我国现存最古老的典型阿拉伯式清真寺。()

某地区1999年平均人口为20万，该地区1998年结核病患者为1226人，其中治愈134例，死亡16例。1999年底结核病患者为1854人，则该地区1999年结核病发病率为

RNA分子中所含的碱基是DNA分子中所含的碱基是

城市一次送电电压为()kV。

合同付款的四个阶段是( )。

证券公司营业部必须在营业场所发布股份转让的价格信息，转让日当天的价格信息发布内容有( )。

BillGates,thebillionaireMicrosoftchairmanwithoutasingleearneduniversitydegree,isbyhissuccessraisingnewdoubtsa

查询“教师表”的全部记录并存储于临时文件one．dbf中的SQL命令是

合同付款的四个阶段是(　　)。

证券公司营业部必须在营业场所发布股份转让的价格信息，转让日当天的价格信息发布内容有(　　)。