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  3. 设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．

设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．

admin2017-06-26  63
问题 设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．
选项
答案必要性：设BTAB正定，则对任意n维非零列向量χ，有χt(BTAB)χ＞0，即(Bχ)TA(Bχ)＞0，于是Bχ≠0．因此，Bχ＝0只有零解，从而有r(B)＝n． 充分性 因(BTAB)T＝BTATB＝BTAB，故BTAB为实对称矩阵，若r(B)＝n，则齐次线性方程组Bχ＝0只有零解，从而对任意n维非零列向量χ，有Bχ≠0，又A为正定矩阵，所以对于Bχ≠0，有(Bχ)TA(Bχ)＞0，于是当χ≠0时，χT(BTAB)χ＝(Bχ)TA(Bχ)＞0，故BTAB为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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