设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．

admin2017-06-26 69

问题设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)＝n．

选项

答案必要性：设B^TAB正定，则对任意n维非零列向量χ，有χ^t(B^TAB)χ＞0，即(Bχ)^TA(Bχ)＞0，于是Bχ≠0．因此，Bχ＝0只有零解，从而有r(B)＝n．充分性因(B^TAB)^T＝B^TA^TB＝B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵，若r(B)＝n，则齐次线性方程组Bχ＝0只有零解，从而对任意n维非零列向量χ，有Bχ≠0，又A为正定矩阵，所以对于Bχ≠0，有(Bχ)^TA(Bχ)＞0，于是当χ≠0时，χ^T(B^TAB)χ＝(Bχ)^TA(Bχ)＞0，故B^TAB为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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