2. 考研
  3. 设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2=一1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜=______。

设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2=一1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜=______。

admin2018-12-19  57
问题 设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2=一1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜=______。
选项
答案18
解析 由｜2E+A｜=0，可得｜一2E一A｜=0，即λ=一2是A的一个特征值。
因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=一1也是A的特征值，所以A，B的特征值均为λ1=1，λ2=一1，λ3=一2，则E+2B的三个特征值分别为3，一1，一3。从而可得｜A｜=λ1λ2λ3=2，｜E+2B｜=3×(一1)×(一3)=9，故
｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜·｜E+2B｜=18。
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考研数学二

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